Teoría básica de conteo de puntos muestrales

Mapa conceptual sobre técnicas de conteo

Conteo de Puntos Muestrales

Son algunas reglas que se usan con el fin de contar el numero de puntos muestrales de un experimento cuando estos no son fáciles de listar por su cantidad.

Regla mnt: Se usa cuando el experimento consiste en formar subconjuntos ordenados de elementos donde cada uno de estos elementos pertenece a un conjunto independiente o se hace un muestreo con reemplazo; por ejemplo el juego de lotería o chance; sacar una tripleta de un conjunto de 20 elementos donde un elemento puede ocupar las tres posiciones al tiempo, es decir el elemento que ha sido extraído vuelve a formar parte del conjunto inicial, esto es lo que se conoce como un muestreo con reemplazo.


Combinaciones: Se usa cuando el experimento consiste en formar subconjuntos de elementos de un mismo conjunto, es decir, un muestreo sin reemplazo, ademas no importa el orden de salida de los elementos; por ejemplo sacar de un grupo de 6 personas 3 para darles un premio, sacar de un grupo de 7 trabajadores 4 para realizar una misma tarea.

El número de combinaciones posibles esta dado por la siguiente expresión

Permutaciones: Se usa cuando el experimento consiste en formar subconjuntos de elementos de un mismo conjunto, es decir, un muestreo sin reemplazo, pero en este caso si importa el orden de salida de los elementos; por ejemplo sacar de un grupo de 6 personas 3 para darles un premio, pero dependiendo de su orden de salida el premio será mejor. Sacar de un grupo de 7 trabajadores 4 para realizar una tarea distinta cada uno.

El número de permutaciones posibles está dado por la siguiente expresión:

Nótese que

Nota: Recordar que P(A) = m/n

, donde x es el número de elementos escogidos del subgrupo r. (Si importa el orden).

, donde x es el número de elementos escogidos del subgrupo r. (Si no importa el orden).

n: número de combinaciones o permutaciones según el caso.

Reglas de la Probabilidad

Ley Multiplicativa de la Probabilidad: Se aplica a la intersección de dos o mas eventos.

• P(AB) = P(A/B) * P(B)

                     = P(B/A) * P(A)      Si A es condición para B es condición para A.

En forma mas general    P(ABC...) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB)...

• P(AB) = 0                         Si A y B son mutuamente excluyentes.
• P(AB) = P(A)*P(B)          Si A y B son independientes.

En forma general P(ABC...) = P(A)*P(B)*P(C)* ...  Si A,B,C ... son independientes.

Ley Adictiva de la Probabilidad: Se aplica a la unión de dos o mas eventos.

• P(AUB) = P(A) + P(B)                    Si A y B son disyuntos.

En forma general P(AUBUCU...) = P()A+P(B)+P(C)+ ...  Si A,B,C ... son disyuntos.

• P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)      Si A y B no son disyuntos, son independientes o condicionales.

En forma mas general P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P()C - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC), donde  
                                                        A,B,C, no son disyuntos

Teoría básica de probabilidad condicional y eventos independientes

Mapa conceptual sobre probabilidad condicional y eventos independientes

Probabilidad Condicional:

Se define como la probabilidad de que suceda un evento dado que antes de este ya ocurrió otro, se denota de la siguiente forma

P(A/B) = P(AB) / P(B) ; Se lee probabilidad de que suceda A dado que ya ocurrió B

P(B/A) = P(AB) / P(A) ; Se lee probabilidad de que suceda B dado que ya ocurrió A

Cuando los eventos A y B pertenecen a un mismo espacio muestral, también se puede calcular la probabilidad condicional, por medio de una reducción del espacio muestral simple o conjunto así:

Ejemplo 1

En un grupo de estudiantes hay 6 de estrato alto, 14 de estrato medio y 10 de estrato bajo, se sabe que de los que ganaron matemáticas con una nota de excelente fueron 2, 7 y 6 respectivamente, si se selecciona un estudiante de los que saco excelente en regalarle una boleta para ir al cine y este fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas. ¿Cual es la probabilidad de que halla sido seleccionado un estudiante de estrato bajo?

Solucion:

Eventos       A: Pertenecer al estrato alto
                   M: Pertenecer al estrato medio
                   B: Pertenecer al estrato bajo
                   G: Ganar matemáticas en excelente

La pregunta responder es calcular una probabilidad condicional, ya que se sabe que el estudiante seleccionado fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas, entonces

• Se puede realizar aplicando la definición de probabilidad condicional.

      P(B/G) = P(BG) / P(G) ,Entonces P(B/G) = 0.2/0.5 = 0.4

      P(BG) = 6/30 = 0.2                     P(G) = 15/30 = 0.5

• También se puede realizar aplicando una reducción del espacio muestral así:

      P(B/G) = 6/15 = 0.4

Como el evento B ya ocurrió este brinda información de tal forma que el espacio muestral se puede reducir solo a los que sacaron excelente en matemáticas que son 15 estudiantes, de los cuales seis pertenecen a estrato bajo

Ejemplo 2

En una bolsa hay 10 bolas negras, 11 bolas blancas, 5 bolas azules y 4 bolas verdes, si se saca una bola al azar.

a) Cual es la probabilidad de los siguientes eventos:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

b) Suponga que ya se sacaron dos bolas azules, tres bolas negras una bola de cada uno de los otros colores, cual es la probabilidad de que la siguiente bola sea:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

La solución del punto a es muy sencilla, simplemente seria aplicar el calculo de probabilidades por conteo de puntos muestrales, así:

P(A) = 10/30 = 1/3 y de igual forma para las otras probabilidades pedidas.

La solución del punto b, es una probabilidad condicional, de tal forma que se podrían plantear los siguientes eventos

F: Ya salieron dos bolas azules
G: Ya salieron tres bolas negras
H: Ya salió una bola blanca
I: Ya salió una bola verde

Se calcula la probabilidad de A dado FGHI, de la siguiente forma

P(A / FHGHI) = 7/23 y de igual manera para las otras probabilidades

Ejemplo 3

En un estudio sobre la preferencia de hombres y mujeres por los dispositivos externos para guardar información se tuvieron los siguientes resultados


a. Calcular la probabilidad conjunta y marginal
b. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo masculino dado que usa CD.
c. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo femenino dado que usa Memoria USB

Solución

a. Probabilidad conjunta y marginal

b. Se resuelve utilizando el algoritmo

P(M / C) = P(MC) / P(C) = 0.21875/0.42708 = 0.5122

Sin embargo se puede calcular utilizando la reducción del espacio muestral

P(M / C) = 105/205 = 0.5122

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan CD y de estas 105 son hombres

c. De la misma forma anterior se calcula

P(F / U) = 60/110 = 0.54545

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan USB y de estas 60 son Mujeres

Eventos Independientes: Dos o mas eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de cualquiera de los eventos no afecta la probabilidad de ocurrencia de los otros eventos.

Por lo tanto

P(A/B) = P(A)                                                                 P(A/BC...) = P(A)

                               En forma general

P(B/A) = P(B)                                                                  P(B/AC...) = P(B)

Nota: La independencia se da entre eventos que pertenezcan a espacios muestrales diferentes y disyunción entre eventos que pertenecen a un mismo espacio muestral.

Teoría básica sobre composición de eventos

Composición de eventos por conteo de puntos muestrales

Los eventos se pueden componer por medio de la unión o la intersección de dos o mas eventos.

La unión se denota por (U), sean los eventos A, B, la unión de estos dos eventos esta compuesta por todos los puntos muestrales que pertenecen a A, a B o ambos eventos, sin repetir puntos muestrales.

La intersección se denota por (   ), sean los eventos A, B, la intersección de estos dos eventos esta compuesta por los puntos muestrales que son comunes a A y a B.

Ejemplo 2

La probabilidad del número de helados vendidos por día en la heladería Copo de Nieve se presente en la siguiente tabla:

Sean los siguientes eventos:

A: Vender menos de 24 helados en un día.

B: Vender 22 helados o mas en un día.

C: Vender entre 21 y 25 helados en un día.

D: Vender mas de 26 helados en un día.

Con esta información calcular la probabilidad de los siguientes eventos compuestos:

Solución:

El espacio muestral es 

, entonces = 9

A cada punto muestral se la asignara su respectivo evento simple como aparece en la tabla

Los eventos A, B, C, D están compuestos por los puntos muestrales:

Respectivamente.

Como los puntos muestrales no son equiprobables es necesario mostrar la composición de los eventos de acuerdo a los eventos simples que les corresponden, así:

Respectivamente

Donde m = 8, porque la unión entre B y C esta compuesta por 8 eventos simples

Por lo tanto 

Entonces

Donde m = 8, porque la unión entre A, C y D esta compuesta por 8 eventos simples

Por lo tanto 

Entonces

Nótese que el valor que toma m es igual para la solución del punto a y b, pero no involucra los mismos puntos muestrales o eventos simples.

Donde m = 0, porque la intersección entre A y D no tiene eventos simples comunes

Por lo tanto

como la 

Donde m = 2, porque la intersección entre A, B y C esta compuesta por 2 eventos simples

Por lo tanto

Entonces

Nota: La variable que representa el número de puntos muestrales favorables para cada evento compuesto, es decir los eventos simples que componen el evento, se representa por la letra m, tanto para la unión como para la intersección, con el fin de poder generalizar con una sola notación los casos favorables al evento compuesto resultante.

Caso especial en la intersección de dos eventos, si el evento A esta contenido en el evento B,

Eventos Mutuamente Excluyentes: También se conocen como eventos disyuntos y son aquellos eventos que perteneciendo a un mismo espacio muestral no tienen puntos muestrales en común, es decir son eventos que no pueden suceder al mismo tiempo o que no comparten puntos muestrales, sean los eventos A, B, la intersección de estos dos eventos en el conjunto vació.

P(AB) = 0, en general P ( ABCD...) = 0

Eventos Complementarios: Dos eventos son complementarios si y solo si son disyuntos y la unión de ellos conforma el espacio muestral, sea el evento A, el complemento de A se denota por A, entonces el evento A esta compuesto por todos los puntos muestrales que le faltan a A para ser igual al espacio muestral.

 

Eventos Colectivamente Exhaustivos: Dos o mas eventos son colectivamente exhaustivos si y solo si la unión de ellos conforman el espacio muestral, es decir dos eventos complementarios son colectivamente exhaustivos, pero dos eventos colectivamente exhaustivos no siempre son complementarios,

Teoría sobre conceptos básicos de la probabilidad

Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, este conjunto se denota por la letra S, a cada resultado del experimento aleatorio se le llama punto muestral, por ejemplo al lanzar un dado se obtienen 6 resultados posibles, de tal forma que S: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

El espacio muestral se puede representar por medio de una lista de resultados o por medio de una regla, por ejemplo al poner a girar tres ruedas cada una con 10 números del 0 al 9, entonces el espacio muestral es:

Por medio de una lista de resultados: S: { 000, 001, 002, ... , 997, 998, 999}

Por medio de una regla:  S:{ xyz / x, y, z (símbolo de pertenece)  Z[0.9] }

Axiomas de la Probabilidad

Si a cada punto muestral se le asigna un numero llamado probabilidad de    ,, denotado por P (   ) entonces:

i) 0  P (   )     1

ii) P(s) = 1

iii) Si para todos los eventos         
                                     , entonces
    P(              ) = P(  ) + P(   ) + .....

Corolario

-La probabilidad de un evento seguro es 1
-La probabilidad de un evento imposible es 0

Eventos Simples: Son aquellos que tienen un solo punto muestral, se denotan por     o por letras minúsculas a, b, c, ...

P(  ) = 1/n , Si y solo si todos los puntos muestrales tienen igual probabilidad, es decir son equiprobables.
                 
                   Donde n es el numero de elementos del espacio muestral.

Ejemplo, calcular la probabilidad de observar un 3 en el lanzamiento de un dado

Sea c: sacar un tres al lanzar un dado

                                                       
                         S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} entonces  

P(c) = P() =1/6

Eventos Compuestos: También se conocen simplemente como eventos, se denotan por las letras mayúsculas A, B, C ...; y son aquellos eventos que están compuestos por mas de un punto muestral.

P(A) = m/n   Si y solo si todos los puntos muestrales tienen igual probabilidad.

                    Donde m es el numero de puntos muestrales que conforman el evento, es decir, los casos
                    favorables.

Ejemplo, calcular la probabilidad de observar un numero par en el lanzamiento de un dado

A: Observar un numero par al lanzar un dado

P(A) = 3/6  entonces P(A) = 1/2

Si todos los puntos muestrales no tienen igual probabilidad entonces

P(A) =

Ejemplo, la siguiente tabla muestra la probabilidad del numero de fallas de una maquina por día.

Diagrama de Árbol: Es un método gráfico que sirve para organizar y contar el numero de puntos muestrales cuando el experimento es compuesto, por ejemplo analizar el siguiente experimento, se lanza un dado, si cae un numero par se lanza una moneda, si cae un numero impar se lanza otra vez el dado, hasta completar tripletas en cada uno de los resultados.

                                     Tronco                             Ramas                      Hojas

Fácilmente se puede contar el numero de puntos muestrales y ademas, se puede ver la composición de cada punto muestral.

En total hay 84 puntos muestrales.

Teoría sobre el concepto de probabilidad

Experimento Aleatorio: Es un proceso que tiene por lo menos dos resultados diferentes, aunque el proceso se repita bajo las mismas condiciones, por ejemplo lanzar una moneda al aire y observar si cae cara o sello; a la pregunta numero de hijos por familia se pueden tener resultados como 0,1,2,3,...,10.


Probabilidad: Se puede definir como un cuantificador de la posibilidad de ocurrencia de un evento  compuesto por uno o varios resultados de un experimento aleatorio, la probabilidad tiene dos enfoques:


a. Probabilidad Objetiva: Es aquella en la cual el resultado probabilístico es independiente del sujeto
que  realiza el calculo.

• Definición Clásica, Teórica o priori de probabilidad: Es aquella en la cual los resultados del experimento aleatorio son conocidos, inclusive sin realizar el experimento, y la probabilidad de un evento especifico se calcula a través del razonamiento abstracto y lógico utilizando algunas reglas matemáticas. Esta probabilidad nace como solución a los juegos de azar, por ejemplo calcular la probabilidad de sacar una cara en el lanzamiento de una moneda; calcular la probabilidad de sacar una pareja que cumpla con unas condiciones especificas de un grupo de 5 personas; Calcular la probabilidad de ganarse el baloto, calcular la probabilidad de ganarse un chance.
•  Definición de Probabilidad como Frecuencia Relativa o a posteriori: Es aquella en la cual se hace necesario repetir el experimento aleatorio n veces bajo las mismas condiciones, cuando el numero n de repeticiones del proceso tienda a infinito se puede concebir la frecuencia relativa de un resultado especifico como la probabilidad de que el evento que involucra este resultado se de a futuro o a posteriori, por ejemplo al hacer el seguimiento diario a una linea de producción durante un largo periodo de tiempo se puede calcular la probabilidad de un numero especifico de artículos defectuosos por dia; Al hacer el seguimiento de las ventas diarias de un determinado producto, durante un largo periodo de tiempo, se puede calcular la probabilidad de la demanda diaria de este producto; al realizar una encuesta en el barrio sobre el numero de hijos en cada familia, se puede calcular la probabilidad de encontrar familias con un numero determinado de hijos.

          Para este caso se puede calcular la probabilidad de un evento especifico como:
     
          Sea A el evento que involucra un resultado especifico (a), entonces la probabilidad a posteriori de A,
          esta dad por:

           P(A) = f(a) / n. donde  f(a) es la frecuencia absoluta del resultado a y n es el numero de ensayos o
           veces que se repitió el experimento.

           Supóngase que se lanza una moneda 10000 veces, en 3000 de los lanzamientos resulto cara y en los
           7000 restantes resulto sello.
           Si se definen los eventos siguientes:

           A: Observar cara en el lanzamiento de la moneda.
           B: Observar sello en el lanzamiento de la moneda.

           Entonces      P(A) = 3000/10000  P(A) = 0.3   En teoría     P(A) = 0.5
                               P(B) = 7000/10000  P(B) = 0.7                      P(B) = 0.5

           Como conclusión se tiene que la moneda esta cargada, es decir, esta moneda no esta buena, ya que
           su probabilidad empírica debe ser igual a su probabilidad teórica.

           Nota: Definición "Si un experimento se repite n veces bajo las mismas condiciones y (n sub B) de los    
               resultados son favorables a un atributo B, el limite de (n sub B/n) conforme n se vuelve grande, se  
              define  como la probabilidad del evento B"


 b. Probabilidad Subjetiva: Es aquella donde la probabilidad de un evento asociado a uno o varios resultados de un experimento aleatorio es asignada por un sujeto basado en su experiencia, punto de vista o conocimiento del tema, esta probabilidad no depende de la repetición de un proceso, ya que el evento en ocasiones puede ocurrir solo una vez, por ejemplo la probabilidad de que se encuentre una cura para el cáncer en los próximos cinco años; la probabilidad de que después de un largo verano se presente un terremoto de 7 grados richter.

Teoría Básica de Probabilidad

Propósitos

• Comprender conceptos básicos de probabilidad
• Calcular probabilidades de eventos simples y compuestos usando métodos diversos (listados, diagrama de árbol, conteo de puntos muestrales)
• Resolver y plantear problemas usando conceptos básicos de teoría de conteo y probabilidad (Combinaciones, permutaciones, regla mnt, espacio muestral, muestreo con y sin reemplazo)
• Interpretar el concepto de probabilidad condicional e independencia de eventos