Teoría básica de probabilidad condicional y eventos independientes

Mapa conceptual sobre probabilidad condicional y eventos independientes

Probabilidad Condicional:

Se define como la probabilidad de que suceda un evento dado que antes de este ya ocurrió otro, se denota de la siguiente forma

P(A/B) = P(AB) / P(B) ; Se lee probabilidad de que suceda A dado que ya ocurrió B

P(B/A) = P(AB) / P(A) ; Se lee probabilidad de que suceda B dado que ya ocurrió A

Cuando los eventos A y B pertenecen a un mismo espacio muestral, también se puede calcular la probabilidad condicional, por medio de una reducción del espacio muestral simple o conjunto así:

Ejemplo 1

En un grupo de estudiantes hay 6 de estrato alto, 14 de estrato medio y 10 de estrato bajo, se sabe que de los que ganaron matemáticas con una nota de excelente fueron 2, 7 y 6 respectivamente, si se selecciona un estudiante de los que saco excelente en regalarle una boleta para ir al cine y este fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas. ¿Cual es la probabilidad de que halla sido seleccionado un estudiante de estrato bajo?

Solucion:

Eventos       A: Pertenecer al estrato alto
                   M: Pertenecer al estrato medio
                   B: Pertenecer al estrato bajo
                   G: Ganar matemáticas en excelente

La pregunta responder es calcular una probabilidad condicional, ya que se sabe que el estudiante seleccionado fue un estudiante de los que saco excelente en matemáticas, entonces

• Se puede realizar aplicando la definición de probabilidad condicional.

      P(B/G) = P(BG) / P(G) ,Entonces P(B/G) = 0.2/0.5 = 0.4

      P(BG) = 6/30 = 0.2                     P(G) = 15/30 = 0.5

• También se puede realizar aplicando una reducción del espacio muestral así:

      P(B/G) = 6/15 = 0.4

Como el evento B ya ocurrió este brinda información de tal forma que el espacio muestral se puede reducir solo a los que sacaron excelente en matemáticas que son 15 estudiantes, de los cuales seis pertenecen a estrato bajo

Ejemplo 2

En una bolsa hay 10 bolas negras, 11 bolas blancas, 5 bolas azules y 4 bolas verdes, si se saca una bola al azar.

a) Cual es la probabilidad de los siguientes eventos:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

b) Suponga que ya se sacaron dos bolas azules, tres bolas negras una bola de cada uno de los otros colores, cual es la probabilidad de que la siguiente bola sea:

A: Sea una bola negra.
B: Sea una bola blanca.
C: Sea una bola azul.
D: Sea una bola verde.

La solución del punto a es muy sencilla, simplemente seria aplicar el calculo de probabilidades por conteo de puntos muestrales, así:

P(A) = 10/30 = 1/3 y de igual forma para las otras probabilidades pedidas.

La solución del punto b, es una probabilidad condicional, de tal forma que se podrían plantear los siguientes eventos

F: Ya salieron dos bolas azules
G: Ya salieron tres bolas negras
H: Ya salió una bola blanca
I: Ya salió una bola verde

Se calcula la probabilidad de A dado FGHI, de la siguiente forma

P(A / FHGHI) = 7/23 y de igual manera para las otras probabilidades

Ejemplo 3

En un estudio sobre la preferencia de hombres y mujeres por los dispositivos externos para guardar información se tuvieron los siguientes resultados


a. Calcular la probabilidad conjunta y marginal
b. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo masculino dado que usa CD.
c. Calcular la probabilidad de que al escoger una persona sea de sexo femenino dado que usa Memoria USB

Solución

a. Probabilidad conjunta y marginal

b. Se resuelve utilizando el algoritmo

P(M / C) = P(MC) / P(C) = 0.21875/0.42708 = 0.5122

Sin embargo se puede calcular utilizando la reducción del espacio muestral

P(M / C) = 105/205 = 0.5122

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan CD y de estas 105 son hombres

c. De la misma forma anterior se calcula

P(F / U) = 60/110 = 0.54545

Nótese que se redujo el espacio muestral solo a las personas que usan USB y de estas 60 son Mujeres

Eventos Independientes: Dos o mas eventos son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de cualquiera de los eventos no afecta la probabilidad de ocurrencia de los otros eventos.

Por lo tanto

P(A/B) = P(A)                                                                 P(A/BC...) = P(A)

                               En forma general

P(B/A) = P(B)                                                                  P(B/AC...) = P(B)

Nota: La independencia se da entre eventos que pertenezcan a espacios muestrales diferentes y disyunción entre eventos que pertenecen a un mismo espacio muestral.